Question

7．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别是CD、AB的中点，连结CN、DN，过点C作CG⊥AB，过点D作DH⊥AB，恰好有CG=NH．
（1）求证：△CGN≌△NHD；
（2）若CG=$\sqrt{5}$，DH=$\sqrt{3}$，求MN的长？

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到CN=DN，由垂直的定义得到∠CGN=∠NHD=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到GN=DH=$\sqrt{3}$，∠GCN=∠DNH，推出△CND是等腰直角三角形，由勾股定理得到CN=$\sqrt{C{G}^{2}+G{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，N是AB的中点，
∴CN=DN，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴∠CGN=∠NHD=90°，
在Rt△CGN与Rt△NHD中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=NH}\\{CN=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△CGN≌Rt△NHD（HL）；

（2）解：∵Rt△CGN≌Rt△NHD，
∴GN=DH=$\sqrt{3}$，∠GCN=∠DNH，
∵∠GCN+∠CNG=∠CNG+∠DNH=90°，
∴∠CND=90°，
∴△CND是等腰直角三角形，
∵CN=$\sqrt{C{G}^{2}+G{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{2}$CN=4，
∵M是CD的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$CD=2．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．