Question

16．如图，已知正△ABCB，点D在BC上，点E在AC上，AE=CD，BE与AD交于点P．
（1）直接写出图中的相似三角形；
（2）若AE：CE=1：2，求S_△APE：S_△ABE的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）过E作EF∥BC交AD于F，设AE=x，CE=2x，AC=3x，通过EF∥BC，得到比例式解得EF=$\frac{1}{3}$x，于是得到PE：BP=1：6，通过△AEP∽△ABE，得到AE²=PE•BE，证得PE=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，即可得到结论．

解答 解：（1）图中的相似三角形有：△APE∽△ACD，△APE∽△ABE，△ABD∽△BPD，△BPD∽△BCE；

（2）过E作EF∥BC交AD于F，
设AE=x，CE=2x，
∴AC=3x，
∵AE=CD=x，
∴BD=2x，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD}$，$\frac{EF}{BD}=\frac{PF}{BP}$，
∴EF=$\frac{1}{3}$x，
∴PE：BP=1：6，
∵△AEP∽△ABE，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{BE}{AE}$，
∴AE²=PE•BE，
∴PE=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴S_△APE：S_△ABE=（$\frac{PE}{AE}$_）²=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟记相似三角形的判定和性质是解题的关键．