Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．
（2）在抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为$\frac{9}{2}$？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点E是x轴上一点，在抛物线上是否存在点P，使以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；
（2）可先求得CD的长，由△CDP的面积可求得P到CD的距离，可求得P点的纵坐标，再代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
当y=2时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍去），
即：点D坐标为（3，2）；
（2）由（1）可知C（0，2），D（3，2），
∴CD=3，
设P到CD的距离为h，
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$CD•h，
∴$\frac{1}{2}$×3h=$\frac{9}{2}$，解得h=3，
设P点纵坐标为y，则h=|y-2|=3，
解得y=5或y=-1，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+3$\frac{1}{8}$，
∴其最大值为3$\frac{1}{8}$，∴y=5舍去，
当y=-1时，则有-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-1，解得x=$\frac{3±\sqrt{33}}{2}$，
此时P点坐标为（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，-1）或（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$），
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，-1）或（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$）；
（3）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为-2，
代入抛物线的解析式：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P点的坐标为（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2），
综上所述存在满足条件的P点，其坐标为（0，2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

点评 此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等知识，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．