Question

如图，已知点A（0，6），B（4，－2），C（7，），过点B作x轴的垂线，交直线AC于点E，点F与点E关于点B对称．

（1）求证：∠CFE=∠AFE；
（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FBC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）是P（0，－2），P（0，－）

试题分析： （1）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交BE于点N.
∴AN=4.
设直线AC的解析式为,
则有，解得.
∴直线AC的解析式为当x=4时，
∴点E的坐标为（4，4），
∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）
设直线FC的解析式为,
则有，解得.
∴直线FC的解析式为
∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.
当y=6时，则有解得x=8.
∴AM="8," MN=AM—MN=4，
∴AN=MN，
∵FN⊥AM，
∴∠ANF=∠MNF，
又NF=NF，
∴△ANF≌△MNF，
∴∠CFE=∠AFE.
（2）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）
∴
∵又A的坐标为（0，6），则，
又BF=6，
∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠BFC=∠AFE，
∴∠PAF=∠BFC.
①△AFP∽△FCB，
则,即,解得PA="8."
∴OP=8－6=2，
∴P的坐标为（0，－2）.
②若△AFP∽△FBC，
则,即,解得PA=.
∴OP=－6=，
∴P的坐标为（0，－）.
所以符合条件的点P的坐标有两个，分别是P（0，－2），P（0，－）.
点评：此类试题属于难度很大的综合性试题，考生在解答此类试题时要注意掌握好一些基本知识