Question

9．如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax²+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．
（1）设a=$\frac{1}{2}$，m=-2时，
①求出点C、点D的坐标；
②抛物线y=ax²+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）①根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；
②根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得∠FCD=90°，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值．

解答 解：（1）①如图1，
，
当a=$\frac{1}{2}$时，将B点坐标代入，得y=$\frac{1}{2}$x²-2x=$\frac{1}{2}$（x-2）²-2顶点坐标为（2，-2）；
当m=-2时，一次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
联立抛物线与直线，得
$\frac{1}{2}$²-2x=$\frac{1}{2}$x-2，
解得x=1，当x=1时，y=-$\frac{3}{2}$，即C点坐标为（1，-$\frac{3}{2}$）．
当x=2时，y=-1，即D点坐标为（2，-1）；
②假设存在g点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形．
则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上，
∴CG⊥DF，
∴DCFG是菱形，
∴点C关于EF的对称点G（3，-$\frac{3}{2}$）．
设DF与CG与DF相交于O′点，则DO′=O′F=$\frac{1}{2}$，CO′=O′G=1，
∴四边形DCFG是平行四边形．
∴抛物线y=ax²+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3，-$\frac{3}{2}$）；
（2）如图2，
，
∵抛物线y=ax²+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，
∴b=-4a．
∴y=ax²+bx=ax²-4ax=a（x-2）²-4a的对称轴是x=2，
∴F点坐标为（2，-4a）．
∵三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，
BC：AC=3：1．
过点C作CH⊥OB于H，过点F作FG∥OB，FG与HC交于G点．
则四边形FGHE是矩形．
由HC∥OA，得BC：AC=3：1．
由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得
HE=1，HB=3．
将C点横坐标代入y=ax²-4ax，得y=-3a．
∴C（1，-3a），∴HC=3a，又F（2，-4a）．
∴GH=4a，GC=a．
在△BED中，∠BED=90°，若△FCD与△BED相似，则△FCD是直角三角形．∵∠FDC=∠BDE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°．
∴△BHC∽△CGF，
∴$\frac{BH}{CG}$=$\frac{HC}{GF}$，
∴$\frac{3}{a}$=$\frac{3a}{1}$，
∴a²=1，
∴a=±1．
∵a＞0，
∴a=1．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．