如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=BC=4cm.点D为AC边上一点.且AD=3cm.动点E从点A出发.以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动.运动时间为x s．作∠DEF=45°.与边BC相交于点F．设BF长为ycm．(1)当x= s时.DE⊥AB,(2)求在点E运动过程中.y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长,(3)当△BEF为等腰三角形时.求x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．
（1）当x=

s时，DE⊥AB；
（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长；
（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．

分析：（1）求出∠A=∠B=45°，因为AD=3，由勾股定理求出AE长；
（2）由∠ADE+∠AED=135°和∠BEF+∠AED=135°推出∠ADE=∠BEF，证出△ADE∽△BEF，得到

，代入即可；
（3）①如图，若EF=BF，由相似得到AE=DE=

，求出t；②如图，若EF=BE，由相似求出AE，即可求出t；③若BF=BE，则∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可求出t．

解答：

解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE=

，
故答案为：

．

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4

，
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴

，
∴

-x

，
∴y=-

x²+

x，
∴y=-

x²+

x=-

（x-2

）²+

∴当x=2

时，y有最大值=

，
∵从运动的过程中可以得出点E运动的路程正好是2BF，
∴点E运动路程为2×

cm，
答：在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式是y=-

x²+

x，点E运动路线的长为

cm．

（3）这里有三种情况：

①如图，若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=

，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=

；
②如图，若EF=BE，则∠B=∠EFB；

又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3

，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x=3

；
③如图，若BF=BE，则∠FEB=∠EFB；

又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为

或3

或3．
答：x的值为

或3

或3．

点评：本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．

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