Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+C与x轴交于点A（﹣1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴的交点为E．

（1）求抛物线的解析式及E点的坐标；

（2）设点P是抛物线对称轴上一点，且∠BPD=∠BCA，求点P的坐标；

（3）点F的坐标为（﹣2，4），若点Q在该抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线OF相切，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，0）；（2）（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；（3）（﹣2， ）或（﹣2，）

【解析】

（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+C与x轴交于点A（﹣1，0），B（﹣3，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，配方后即可求得点E的坐标；

（2）根据点P是抛物线对称轴上一点，且∠BPD=∠BCA，分情况结合三角函数的知识进行求解即可求得点P的坐标；

（3）根据题意可知点Q到点A的距离，从而可以得到点Q到直线OF的距离，然后根据锐角三角函数即可求得点Q的坐标，从而可以解答本题．

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3，

∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，

∴点E的坐标为（﹣2，0）；

（2）如图1所示，

∵y=﹣x2﹣4x﹣3，点A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴点C（0，﹣3），

∴AB=（﹣1）﹣（﹣3）=2，AC=，OC=3，BC=3，

作AF⊥BC于点F，

则，

即，

解得，AF=，

∴BF=，

∴CF=2，

∴tan∠ACB=，

设点P1的坐标为（﹣2，p），

∵∠BPD=∠BCA，

∴tan∠BPD=，

∵BE=1，

∴，

解得，P1E=2，

∴点P1的坐标为（﹣2，2），

同理可得，点P2的坐标为（﹣2，﹣2），

即点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）设过点O（0，0）和点F（﹣2，4）的直线的解析式为y=kx，

4=﹣2k，得k=﹣2，

∴直线OF的解析式为y=﹣2x，

当Q1在x轴上方时，设点Q1的坐标为（﹣2，t），如图2所示，

∵以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线OF相切，

∴Q1A=，tan∠F=，

∴sin∠F=，

∴=，

即=，

解得，t=或t=（舍去），

同理可得，当Q2在x轴下方的位置时，t=，

∴点Q的坐标为（﹣2，）或（﹣2，）．