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5.已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上,以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.
(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO,求证:△CAO∽△BCO;
(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项,当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示).

分析 (1)根据夹角相等,对应边成比例可证;
(2)OP是OA,OB的比例中项,OC=OP,△CAO∽△BCO可得.

解答 (1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,
∴AO=2PO.
∴$\frac{AO}{PO}$=$\frac{PO}{BO}$=2,
∵PO=CO,
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$.
∵∠COA=∠BOC,
∴△CAO∽△BCO;

(2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,
∵OP是OA,OB的比例中项,
∴x2=(x-1)(x+m),
∴x=$\frac{m}{m-1}$.
即OP=$\frac{m}{m-1}$,
∴OB=$\frac{1}{m-1}$,
∵OP是OA,OB的比例中项,即$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$,
∵OP=OC,
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$.
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时,
∵∠AOC=∠COB,
∴△CAO∽△BCO,
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{OC}{OB}$,
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OP}{OB}$=m.
当点C与点P或点Q重合时,可得$\frac{AC}{BC}$=m,
∴当点C在圆O上运动时,AC:BC=m.

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,比例的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

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