Question

【题目】如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°．

（1）分别求点A、C的坐标；
（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：作CD⊥x轴，

∵∠OAB+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，

在△ABO和△CAD中，

，

∴△ABO≌△CAD（AAS）

∴AD=OB，CD=OA，

∵y=﹣x+2与x轴、y轴交于点A、B，

∴A（2，0），B（0，2），

∴点C坐标为（4，2）

（2）解：作C点关于x轴对称点E，连接BE，

则E点坐标为（4，﹣2），△ACD≌△AED，

∴AE=AC，

∴直线BE解析式为y=﹣x+2，

设点P坐标为（x，0），

则（x，0）位于直线BE上，

∴点P坐标为（2，0）于点A重合

【解析】（1）作CD⊥x轴，易证∠OAB=∠ACD，即可证明△ABO≌△CAD，可得AD=OB，CD=OA，即可解题；（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，即可求得E点坐标，根据点P在直线BE上即可求得点P坐标，即可解题．
【考点精析】利用等腰直角三角形和轴对称-最短路线问题对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．