Question

如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．
（1）求证：AB=DE、AC=DF；
（2）若BC=6，△ABC的面积是12，点F在线段BC上，BF=x，四边形ABDE的面积为y，求y与x的函数关系式，并求函数值y的取值范围．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,函数关系式

专题：

分析：（1）通过ASA证得△ABC≌△DEF，则该全等三角形的对应边相等：AB=DE、AC=DF；
（2）作AG⊥BC于G，由△ABC的面积就可以求出AG的值，根据BC=EF就可以表示出BE=12-x，由三角形的面积公式就可以表示出△ABE的面积，进而四边形ABDE的面积．

解答：（1）证明：如图，
∵FB=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即BC=EF．
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFC，
∴在△ABC与△DEF中，

∠ABC=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠DFE

，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE、AC=DF；

（2）解：如图，连接AE、BD．
∵AB=DE，AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴△ABE≌△DEB，
∴S_△ABE≌S_△DEB，
∴y=2S_△ABE．
作AG⊥BC于G，
∴∠AGB=90°．
∵BC=6，△ABC的面积是12，
∴

6AG

2

=12，
∴AG=4．
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BE=BC+EF-CF．
∵BE=12-x，
∴S_△ABE=

4(12-x)

2

=24-2x，
∴y=2（24-2x）=-4x+48．
∵0≤x≤6，
∴24≤y≤48．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行四边形的判定与性质的运用，平行四边形的面积的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出三角形全等是关键．