Question

如图，已知△ABC的外心为0，过点B、C任意作一圆，分别与AB、AC的延长线交于点E、F．求证：AO⊥EF．

Answer 1

解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长分别交⊙O、EF于点D，G，连接CD，
∴∠AEG=∠ACB（圆内接四边形性质），
∠BAD=∠BCD（同弧所对圆周角定理），
∠ACD=90°，
则∠AEG+∠EAG=∠ACB+∠BCD=∠ACD=90°，
故∠AGE=90°，
∴AG⊥EF，
即AO⊥EF．
分析：首先作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长分别交⊙O、EF于点D，G，连接CD，利用圆内接四边形性质以及圆周角定理得出∠AEG+∠EAG=∠ACB+∠BCD=∠ACD进而得出点即可．
点评：此题主要考查了三角形外接圆与外心的性质和圆内接四边形的性质等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键．