Question

已知抛物线．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】分析：（1）从函数的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；
（2）①由直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，求得点A，代入抛物线解析式得m，由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，求得点P坐标；
②求得MN的坐标，从MN与CD的位置关系解得．
解答：解：（1）该函数的判别式=m²-4m+7=（m-2）²+3≥3
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2）由直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，
∴点A（1，0）
代入二次函数式则m=3
故二次函数式为：
当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=-2，
即顶点C为（3，-2），
把x=3代入直线y=x-1则y=2，
即点D（3，2）
则AD=AC=2
设点P（x，）
由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等
则
解得：x=3或x=5
则点P（3，-2）（与点D重合舍去）或（5，0）
经检验点（5，0）符合，
所以点P（5，0）
②设直线AB解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（3，2）代入得直线AB：y=x-1，
设M（a，a-1），N（a，a²-3a+），
当以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD，即|（a-1）-（a²-3a+）|=4，
解得a=4±或3或5，
故把直线CD向右平移1+个单位或2个单位，向左平移-1个单位，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，求得判别式总大于等于3，而证得；求得点A，代入抛物线解析式得m，由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，而解得；平移后得到的情况，得到M，N的坐标而解得．