Question

如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O，与x轴交与点A，与y轴交与点B，点C是劣弧OA的中点，切线AP与BC的延长线交与点P，已知点A的坐标为（-3，0），OC的长是方程x²-2

3

x+3=0的根．
（1）求OC的长；
（2）求点P的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先求出x²-2

3

x+3=0的根，即是OC的长度．
（2）连接MC，交AO于点D，先利用勾股定理得出CD的长度，由特殊直角三角形可得∠OCD=60°，可得△MCO是等边三角形，再连接MA，MO，MB，可得△MOB是等边三角形．利用角的关系可得出MA，MB在一条直线上，AP是⊙M的切线，利用直角三角形可得出AP，再利用特殊直角三形三边关系求得AN与PN，利用线段关系即可求出点P的坐标．

解答：解（1）∵x²-2

3

x+3=0的根为x=

3

，
又∵OC的长是方程x²-2

3

x+3=0的根，
∴OC=

3

，
（2）如图，连接MC，交AO于点D，

∵点C是劣弧OA的中点，
∴MC⊥AO，且AD=OD，
∵点A的坐标为（-3，0），
∴OD=

3

2

，
∵OC=

3

，
∴CD=

3- 9 4

=

3

2

，
∴在RT△COD中，∠OCD=60°，
∴△MCO是等边三角形，
连接MA，MO，MB，
∵∠MOD=∠COD=30°，
∴∠MOB=60°，
∴△MOB是等边三角形．
∴∠BMO=60°，
∵∠AMO=2∠OMC=120°，
∴∠AMO+∠BMO=120°+60°=180°，
∴MA，MB在一条直线上，
∵AP是⊙M的切线，
∴∠BAP=90°，
∵AB=2CO=2

3

，∠ABP=30°，
∴AP=

AB

3

=

2 3

3

=2．
作PN⊥AO交AO于点于点N，
∵∠PAN=60°，
∴AN=1，PN=

3

，
∴ON=OA-AN=3-1=2，
∴P（-2，-

3

）．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是利用角的关系得出MA，MB在一条直线上．