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(1999•海淀区)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,以OB为半径作圆,交AC于E、F,交AB于D.若E是的中点,且AE:EF=3:1,FC=4,求∠CBF的正弦值及BC的长.

【答案】分析:连接OE,DF,由已知可推出OE∥BF,根据平行线的性质可得到AE:EF=AO:OB,AE:AF=OE:BF⊙,设OB=r,则可求出OA,BF,AD的值,根据已知可推出BC是⊙O的切线,再利用勾股定理可求得r的值,从而可求得BC的长及∠CBF的正弦值.
解答:解:解法一:连接OE,DF;
∵E是的中点,BD是⊙O的直径,
∴OE⊥DF,∠DFB=90°,
∴OE∥BF,(1分)
∴AE:EF=AO:OB,AE:AF=OE:BF;
∵AE:EF=3:1,
∴AO:OB=3:1,AE=3EF,OE:BF=3:4;
设OB=r,则AO=3r,BF=r,(2分)
∴AD=2r;
∵AE•AF=AD•AB,
∴3EF•4EF=2r•4r,
∴EF=r;(3分)
∵∠ABC=90°,DB是⊙O的直径,
∴BC是⊙O的切线,
∴BC2=CF•CE=4(4+EF);
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC2=AC2-AB2=(4EF+4)2-(4r)2
∴4(4+EF)=(4EF+4)2-(4r)2;(6分)
即4(4+r)=(4×r+4)2-(4r)2
∴r=,(7分)
∴BC=;(8分)
∵∠CBF=∠BDF,sin∠BDF==
∴sin∠CBF=.(9分)
(说明:只求出ÐCBF的正弦值给4分)

解法二:
连接DE、OE、EB;
由解法一,有BF=r,EF=DE=r,CB是切线;
∵DB是直径,
∴∠DEB=90°,
在Rt△DEB中,由勾股定理,有DB2=DE2+EB2
∴EB=r;(4分)
∵∠CBF=∠CEB,且∠C公用,
∴△CFB∽△CBE,
=
由FC=4,得BC=,(7分)
∵CB2=CF•CE,
∴EF=
∴r=
∴BF=,AF=14;
过F点作FG∥AB,交CB于G,
=
∴FG=
在Rt△FGB中,由正弦定义,有
sin∠FBG=
∴sin∠FBG=.(9分)
点评:此题主要考查学生对切线的判定,平行线的性质及勾股定理等知识点的综合运用.
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