Question

如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A、G、E、F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，点N是线段BC的中点，且ON=OD，求折痕FG的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG=GE，可得出结论．
（2）连接ON，得出ON是梯形ABCE的中位线，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．
解答：（1）证明：由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．

（2）解：连接ON，
∵O，N分别是AE，CB的中点，
故ON是梯形ABCE的中位线，
设CE=x，则ED=4-x，2ON=CE+AB=x+4，
在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+4，
AD²+DE²=AE²，
∴2²+（4-x）²=（4+x）²，
得x=，
OE==，
∵△FEO∽△AED，
∴=，
解得：FO=，
∴FG=2FO=．
故折痕FG的长是．
点评：此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质，关键在于得出△FEO∽△AED，求出=．