Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知如图所示的抛物线顶点的坐标为，且过点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点为抛物线对称轴右侧、轴下方一点，当时，求直线的解析式；

（3）平移（1）中的抛物线，记平移后抛物线的顶点为，顶点在直线上滑动，且平移后的抛物线与直线交于另一点，若点为平移前（1）中抛物线上的点，则当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）符合条件的点E的坐标为（4，-2）或（-2，4）或（ ）或（）．

【解析】

（1）由顶点坐标，设抛物线，然后将A点代入解析式，用待定系数法求解即可；

（2）过点B作BN⊥y轴，直线OP与抛物线对称抽BM交于点F，结合矩形的性质求得，从而得到FO=FB，设MF=x，则FO=FB=4-x，利用勾股定理求x的值，确定F点坐标，从而用待定系数法求直线解析式；

（3）线段AB的长度可求，并且在抛物线滑动过程中，线段CD的长度也是不变的，始终等于AB，因此，问题就相当于一条定长线段CD在直线AB上滑动，若、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，则按照∠KDC=90°，KD=DC；∠KCD=90°，KC=DC；∠CKD=90°，CK=DK三种情况分析，只需利用等腰直角三角形和一次函数的图像性质求得AN的相应的距离，从而求平移后的直线解析式与原抛物线解析式相等时方程的解，可解得E点的坐标．

解：（1）由题意，设抛物线，将代入，得

，解得：

∴抛物线的解析式为：

（2）如图：过点B作BN⊥y轴，直线OP与抛物线对称抽BM交于点F

由题意可知，四边形ONBM是矩形

∴

∴

∴FO=FB

由B（2，-4）可得，OM=2，MB=4

设MF=x，则FO=FB=4-x

在Rt△OMF中， ，解得：

∴F（2， ）

设直线OP的解析式为，把F（2， ）代入，得

解得：

∴直线OP的解析式为；

（3）∵A（0，-2），B（2，-4）

∴

抛物线滑动过程中，C与B为对应点，D与A为对应点，

∴

∴①当∠KDC=90°，KD=DC=时，

设过点K且平行于直线AB的直线KN（直线KN与y轴交于点N）的解析式为y=-x+n

设直线AB的解析式为，则 解得

所以直线AB的解析式为：y=-x-2

∴∠FAN=45°，

∴△NFA为等腰直角三角形，则

∴N（0，2）

则直线KN的解析式为y=-x+2

由此 ，解得或

∴E点坐标为（4，-2）或（-2，4）

②当∠KCD=90°，KC=DC=时，同理可求，E点坐标为（4，-2）或（-2，4）；

③当∠CKD=90°，CK=DK时，

过点K作KG⊥CD，此时，KG=NF=AF=，AN=2

∴N（0，0）

则直线KN的解析式为y=-x

由此 ，解得或

∴E点坐标为（ ）或（）

综上所述，符合条件的点E的坐标为（4，-2）或（-2，4）或（ ）或（）．