Question

8．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为$\sqrt{10}$，1，2$\sqrt{2}$，△ABP绕点B旋转至△CBP′，连结PP′，并延长BP与DC相交于点Q，则∠CPQ的大小为45（度）

Answer 1

分析 由旋转性质可得△APB≌△CP′B，则有PB=P′B=1、∠PBA=∠P′BC、PA=P′C=$\sqrt{10}$，继而可得∠P′BC+∠PBC=90°、∠BPP′=45°、PP′=$\sqrt{2}$，再根据勾股定理逆定理可得△PCP′为直角三角形且∠CPP′=90°，即可得答案．

解答 解：由旋转性质可得△APB≌△CP′B，
∴PB=P′B=1，∠PBA=∠P′BC，PA=P′C=$\sqrt{10}$，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA+∠PBC=90°，
∴∠P′BC+∠PBC=90°，即∠PBP′=90°，
∴△PBP′为等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，PP′=$\sqrt{P{B}^{2}+P′{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵PP′²+PC²=2+8=10=P′C²，
∴△PCP′为直角三角形，且∠CPP′=90°，
∴∠CPQ=180°-∠BPP′-∠CPP′=45°，
故答案为：45．

点评 本题主要考查旋转的性质与正方形的性质，根据旋转变换对应边相等、对应角相等及勾股定理逆定理得出两直角三角形是解题的关键．