Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形依次放入△ABC中：第一个正方形CM₁P₁N₁的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M₁M₂P₂N₂的顶点分别放在Rt△AP₁M₁的各边上，…，其他正方形依次放入．则第三个正方形的边长x₃为

 

，第n个正方形的边长x_n=

 

（n为正整数）．

Answer 1

分析：根据相似三角形的性质求出x₁，x₂，x₃…的值，找出规律即可求出第三、第n个正方形的边长x₃、x_n．

解答：解：∵边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形，
∴BC∥P₁M₁∥P₂M₂…
∴△ABC∽△AP₁M₁∽△AP₂M₂…
∴x₁：BC=x₂：PP₁M₁=x₃：P₂M₂…，
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴BN₁=0.5x₁，AM₁=2x₁
∴x₁=

2

3

∴x₃=1×(

2

3

)3=

8

27

，
∴x_n=1×(

2

3

)n=(

2

3

)n．
故答案是：

8

27

，(

2

3

)n．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．此题属规律性题目，解答此题的关键是求出x₁，x₃，x_n…的值，找出规律，根据此规律求解．