如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m．分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出函数对称轴进而得出m的值；
（3）分别利用当1＜m＜6时，d=2（-m2+7m-6+2），当m＞6时，d=2（m2-7m+6+2）求出d的取值范围即可；
（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，进而得出m的值求出答案．
解答 解：（1）把A（1，0）、B（5，0）代入y=ax2+bx+5，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=x2-6x+5；
（2）如图所示：∵抛物线y=x2-6x+5的对称轴为：x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-6}{2}$=3，
∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分，
可得PN=3-m，PE=2，
∴$\frac{3-m}{2}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{3-m}{2}$=$\frac{1}{3}$，
解得：m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{7}{3}$；
（3）当x=6时，y=x2-6x+5=62-6×6+5=5，
∴点D的坐标为（6，5）．
射线AD所对应的函数表达式为y=x-1（x＞1）．
∴P（m，m2-6m+5），Q（m，m-1）．
当1＜m＜6时，d=2（-m2+7m-6+2）=-2m2+14m-8，
当m＞6时，d=2（m2-7m+6+2）=2m2-14m+16，
又d=-2m2+14m-8=-2（m-$\frac{7}{2}$）2+$\frac{33}{2}$，
∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4＜d≤$\frac{33}{2}$．
（4）当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，
当1＜m＜6时，m-1-（m2-6m+5）=2，
整理得：m2-7m+8=0，
解得：m1=$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，m2=$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
当m＞6时，m2-6m+5-（m-1）=2，
整理得：m2-7m+4=0，
解得：m3=$\frac{7+\sqrt{33}}{2}$，m4=$\frac{7-\sqrt{33}}{2}$（舍去），
故其对称中心的横坐标为：$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7+\sqrt{33}}{2}$+1=$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$．
点评 此题主要考查了二次函数综合以及正方形的性质等知识，根据题意表示出矩形QPEF的边长是解题关键．
愉快的寒假南京出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，已知A（-3，0），B（0，-4），P为反比例函数y=$\frac{12}{x}$（x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为（ ）| A． | 12 | B． | 13 | C． | 24 | D． | 26 |
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，?ABCD中，AD=3cm，AB=5cm，BD⊥AD．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，同时点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，它们运动的速度为1cm/s．设运动的时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），当点Q运动到点A时，P，Q都停止运动．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，在平面直角坐标系中，A（0，$2\sqrt{3}$），B（6，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是（ ）| A． | （-3，$\sqrt{3}$） | B． | （$-\sqrt{3}$，3） | C． | （$\sqrt{3}$，-3） | D． | （-1，$\sqrt{3}$） |
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cosA等于（ ）| A． | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | B． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
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如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEA=45°，则∠A等于（ ）
如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）