[题目]数学拓展课上.老师给出如下定义:如果三角形有一边上的中线长恰好等于该边长的1.5倍.那么称这个三角形为“趣味三角形．理解:(1)如图1.在△ABC中.AB=AC=.BC=2.试判断△ABC是否为“趣味三角形 .并说明理由． (2)如图2.已知△ABC是“趣味三角形 .AD.BE.CF分别是BC.AC.AB边上的中线.且AD=BC.试探究BE和CF之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】数学拓展课上，老师给出如下定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于该边长的1.5倍，那么称这个三角形为“趣味三角形”．

理解：

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，试判断△ABC是否为“趣味三角形”，并说明理由．

（2）如图2，已知△ABC是“趣味三角形”，AD，BE，CF分别是BC，AC，AB边上的中线，且AD=BC，试探究BE和CF之间的位置关系.

（3）如图3，直线l1∥l2 ， l1与l2之间的距离为2，点B，C在直线l1上，点A在直线l2上，AD，BE，CF分别是△ABC的边BC，AC，AB上的中线．若△ABC是“趣味三角形”，BC=2．求BE2+CF2的值．

【答案】（1）△ABC为“趣味三角形”；理由见解析；（2）BE⊥CF，理由见解析；（3）BE2+CF2的值为18或15或12.

【解析】

（1）因为ΔABC为等腰三角形，过A点作BC边上的中线，然后利用勾股定理求出AD与BC的关系。（2）设三条中线的交点为点G，则点G为重心，根据比例求出直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。（3）由“趣味三角形”三角形有一边上的中线长恰好等于该边长的1.5倍，AD=BC=3，再利用中线的性质，线段成比例求出BE2+CF2的值。过E、A两点分别向l1做垂线EH、EK。利用勾股定理求出.

（1）解：△ABC为“趣味三角形”。

如图1，作AD⊥BC于点D．

∵AB=AC= ，∴BD=CD=1

∴AD= =3

∴AD=1.5BC．即△ABC为“趣味三角形”.

（2）解：如图2，

设三条中线的交点为点G，则点G为重心。

∴AG:CD=2:1,即GD= AD

∵AD= BC, ∴GD= BC=BD=CD．

∴∠BGC=90°，即BE⊥CF

（3）解：①当AD= BC=3时，BE⊥CF

∴BG2+CG2=BC2 ．

∵点G为重心，∴BE= BG,CF= CG

∴BE2+CF2= BG2+ CG2= BC2=AD2=18．

②当BE= AC时（如图3）

，

作EH⊥l1于点，AK⊥l1 ，于点K

设CH=KH=x, ∴BE2=(2 +x)2+12,AC2=(2x)2+22 ．

∵BE= AC, ∴BE2=AC2 ， ∴ (2 +x)2+12=(4x2+4)．

解得x=0或x= ，此时有CF2+AD2=BE2 ．

∴当x=0时，BE2+CF2=2BE2-AD2=2[(2 )2+12]-[22+( )2]=12．

当x=时，BE2+CF2=2BE2-AD2=2[()2+12]-[22+(2 )2]=15

③当CF= AB时，同②解法，BE2+CF2=12或15．

综上所述BE2+CF2的值为18或15或12.

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