Question

（2012•吴中区三模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，F为BC中点，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF≌△BGF：
（2）过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，AD=5cm，求tan∠BGF．

Answer 1

分析：（1）由题意可得出∠DFC=∠BFG，∠DCF=∠GBF，FC=FB，利用AAS即可证明结论；
（2）过点D作DH∥BC交AB于点H，首先在RT△ADH中求出DH的长度，然后在RT△DHG中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠BGF的值．

解答：证明：（1）∵梯形ABCD，AB∥CD，F为BC中点，
∴∠DFC=∠BFG，∠DCF=∠GBF，FC=FB，
∴△CDF≌△BGF（AAS）；

（2）∵F是BC的中点，EF∥CD，
∴点E为AD中点，
又∵AB=6cm，EF=4cm，
∴CD=2EF-AB=2cm，即可得BG=DC=2cm，
过点D作DH∥BC交AB于点H，
在RT△DHA中，由AD=5cm，AH=AB-BH=AB-CD=4cm，
故可得DH=

AD2-AH2

=3cm，
又∵HG=4cm，
∴在RT△DHG中，tan∠BGF=

DH

HG

=

3

4

．

点评：此题考查了梯形、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握梯形的中位线定理及三角形全等的判定定理，难度一般．