Question

如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．
（1）用含m的代数式表示线段AD的长是

 

；
（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=

3

x-2

3

，求m的值；
（3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据条件可以证明∠ADB=90°，而∠ABD=30°，则AD=

1

2

AB．
（2）当直线PE过点C时，易证△CEB为等边三角形，因而C的坐标可以用m表示出来，把C的坐标代入函数y=

3

x-2

3

就可以求出m的值．
（3）本题应分点F在线段BC上和点F在线段DC上两种情况进行讨论．当点F在线段BC上，△FEB为等边三角形；而点F在线段DC上时，△FEB的面积S=

1

2

AE•FG．而AE、FG可以用t表示出来．因而就可以得到函数解析式．则求面积的最值的问题就可以转化为求函数的最值问题．

解答：解：（1）

1

2

m．（3分）

（2）如图①，当直线PE过点C时，解析式为：y=

3

x-2

3

，
令y=0，得0=

3

x-2

3

．
解得x=2．
∴点E（2，0）．（5分）
∵∠DAB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC．
∴∠ADB=180°-60°-30°=90°，
∵EP⊥BD，
∴EP∥AD．
∴∠CEB=∠DAB=∠ABC=60度．
∴△CEB为等边三角形．
∴EB=BC=AD=

1

2

m．
∵AB=m，
∴AE=

1

2

m=2，
∴m=4．（7分）

（3）由m=4，可知B（4，0），D（1，

3

），C（3，

3

），
在Rt△BPE中，EB=

BP

sin60°

=

t

3 2

=

2

3

t=

2 3

3

t．
∴AE=4-

2 3

3

t．（8分）
过F作FG⊥AB于点G．
下面分两种情况：
①点F在线段BC上，如图②．
∵△FEB为等边三角形，
∴FG=BP=t．
∴S=

1

2

AE•FG=

1

2

（4-

2 2

3

t）•t=-

3

3

t2+2t=-

3

3

（t-

3

）²+

3

（0＜t≤

3

）．（10分）
②点F在线段DC上，如图③，则FG=

3

．
∴S=

1

2

AE•FG=

1

2

•（4-

2 2

3

t）•

3

=-t+2

3

（

3

＜t≤2

3

）（11分）
综合①，②得：当t=

3

时，S_最大=

3

．（12分）

点评：本题主要是函数与梯形的性质相结合的问题．难度比较大．