【题目】已知△ABC是等边三角形.
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.
①如图a,当θ=20°时,△ABD与△ACE是否全等? (填“是”或“否”),∠BOE= 度;
②当△ABC旋转到如图b所在位置时,求∠BOE的度数;
(2)如图c,在AB和AC上分别截取点B′和C′,使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′,将△AB′C′绕点A逆时针旋转角(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O,请利用图c探索∠BOE的度数,直接写出结果,不必说明理由.
【答案】(1)①是,∠BOE=120°②∠BOE=120°(2)当0°<<30°时,∠BOE=60°
当30°<<180°时,∠BOE=120°
【解析】
试题(1)是∠BOE=120°
(2)由已知得:△ABC和△ADE是全等的等边三角形
∴AB=AD=AC=AE
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的
∴∠BAD=∠CAE=
∴△BAD≌△CAE
∴∠ADB=∠AEC
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°
∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE
∴∠DAE+∠BOE=180°
又∵∠DAE=60°
∴∠BOE=120°
(3)如图
,
c在AB和AC上分别截取点B′和C′,使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′,将△AB′C′绕点A逆时针旋转角 (0°<<180°),得到△ADE,AB=AB′,AC=AC′,可得,根据旋转的特征,所以
当0°<<30°时,∠BOE=60°
当30°<<180°时,∠BOE=120°
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【题目】如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7 m,看旗杆顶部M的仰角为45°;小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5 m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B,N,D在同一条直线上).求旗杆MN的高度.(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果保留整数)
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【题目】如图,⊙O的直径AB的长为2,点C在圆周上,∠CAB=30°.点D是圆上一动点,DE∥AB交CA的延长线于点E,连接CD,交AB于点F.
(1)如图1,当DE与⊙O相切时,求∠CFB的度数;
(2)如图2,当点F是CD的中点时,求△CDE的面积.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | ﹣1 | ﹣ | ﹣2 | ﹣ | … |
根据表格中的信息,完成下列各题
(1)当x=3时,y=
(2)当x为何值时,y=0?
(3)①若自变量x的取值范围是0≤x≤5,求函数值y的取值范围;
②若函数值y为正数,则自变量x的取值范围.
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【题目】如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D是AB上异于A,B的一动点,将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE,则旋转过程中△BDE周长的最小值_____
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【题目】四边形ABCD是正方形,△ADF旋转一定角度后得到△ABE,如图所示,如果AF=3,AB=7,
求(1)指出旋转中心和旋转角度;
(2)求DE的长度;
(3)BE与DF的位置关系如何?请说明理由.
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【题目】如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图.若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方块,以搭成一个长方体,至少还需要________个小立方块.最终搭成的长方体的表面积是________.
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【题目】如图,在中,为直线上任意一点,给出以下判断:
①若点到,距离相等,且,则;②若且,则;③若,则;④若,且,则.其中正确的是________(把所有正确结论序号都填在横线上)
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