Question

如图所示，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动；将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为

 

；
简述证明主要思路．

Answer 1

分析：连CM，由点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质得到CM=MB=MA，∠A=∠ACM=∠MCB=45°，∠CMA=90°，利用等角的余角相等得到∠AMF=∠EMC，根据“SAS”可得△AFM≌△CEM，则S_△AFM=S_△CEM，于是重叠部分四边形CEMF的面积=S_△ACM=

1

2

S_△ACB，然后利用三角形的面积公式计算即可．

解答：解：重叠部分四边形CEMF的面积为

1

4

a²．证明如下：
连CM，如图，
∵点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，
∴CM=MB=MA，
∴∠A=∠ACM=∠MCB=45°，∠CMA=90°，
又∵△MNK为直角三角形，
∴∠EMF=90°，
∴∠AMF=∠EMC=90°-∠CMF，
在△AFM和△CEM中，

∠A=∠MCE AM=CM ∠AMF=∠CME

∴△AFM≌△CEM，
∴S_△AFM=S_△CEM，
∴重叠部分四边形CEMF的面积=S_△ACM=

1

2

S_△ACB=

1

2

×

1

2

×a×a=

1

4

a²．
故答案为：

1

4

a²．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质．