Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．

（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；

（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．

①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；

②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．

Answer 1

【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.

【解析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；

（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况，利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；

②设点A坐标，表示△PMN即可．

（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，

∵直线l1过点F（0，10），E（20，0），

∴，解得：，

直线l1的表达式为y=﹣x+10，

解方程组得，

∴点P坐标为（8，6）；

（2）①如图，当点D在直线上l2时，

∵AD=9

∴点D与点A的横坐标之差为9，

∴将直线l1与直线l2 的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，

∴y﹣（20﹣2y）=9，

解得：y=，

∴x=20﹣2y=，

则点A的坐标为：（，），

则AF=，

∵点A速度为每秒个单位，

∴t=；

如图，当点B在l2 直线上时，

∵AB=6，

∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，

∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得，

﹣x+10﹣x=6，

解得x=，

y=﹣x+10=，

则点A坐标为（，）

则AF=，

∵点A速度为每秒个单位，

∴t=，

故t值为或；

②如图，

设直线AB交l2 于点H，

设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，

由①中方法可知：MN=，

此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，

∵△PMN的面积等于18，

∴=18，

解得

a1=-1，a2=﹣-1（舍去），

∴AF=6﹣，

则此时t为，

当t=时，△PMN的面积等于18.