Question

6．如图，直线y=x-3与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线y=-x²+bx+c与x轴的另一个交点为C．
（1）确定抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求A、B两点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式，在令y=0解一元二次方程求方程的解，从而求出点C的坐标；
（2）根据轴对称的最短路径找到点E：直线AB与对称轴的交点即是E点，求直线AB的解析式，再求与对称轴的交点坐标即可；
（3）分两种情况计算：点F分别在x轴的上方和下方，根据等角的三角函数列式计算即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，x-3=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，-3），
把A（3，0），B（0，-3）代入抛物线y=-x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x-3，
当y=0时，-x²+4x-3=0，
x₁=1，x₂=3，
∴C（1，0），
（2）y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴P（2，1），
∵C、A关于抛物线的对称轴对称，
∴直线AB与对称轴的交点即为点E，
如图1，此时EB+EC为最小，
当x=2时，y=2-3=-1，
∴E（2，-1）；
（3）过F作FD⊥x轴于D，
设F（a，-a²+4a-3），
∵∠FAO=∠OBC，∠BOC=∠FDA=90°，
∴△BOC∽△ADF，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{FD}{AD}$，
∵C（1，0），B（0，-3），
∴OC=1，OB=3，
当F在x轴的上方时，如图1，
得$\frac{-{a}^{2}+4a-3}{3-a}$=$\frac{1}{3}$，
3-a=-3a²+12a-9，
3a²-13a+12=0，
（a-3）（3a-4）=0，
a₁=3（舍），a₂=$\frac{4}{3}$，
∴F（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{9}$），
当F在x轴的下方时，如图2，
得$\frac{{a}^{2}-4a+3}{3-a}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x₁=3（舍），x₂=$\frac{2}{3}$，
∴F（$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{9}$），
综上所述，点F的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{9}$）或（$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{9}$）．

点评 本题主要考查待定系数法、轴对称的最短路径问题、方程、函数及三角形相似等知识，也考查了综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力以及数形结合、分类讨论的思想，是常考题型，正确运用分类讨论是解题关键．