Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为点E，连接BE，点F为BE上一点，连接AF，∠AFE=∠D．

（1）求证：∠BAF=∠CBE；

（2）若AD=5，AB=8，sinD=．求证：AF=BF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2.

【解析】

（1）根据相似三角形的判定，易证△ABF∽△BEC，从而可以证明∠BAF=∠CBE成立；

（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF的长

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，

∵∠AFB+∠AFE=180°，∠AFE=∠D，

∴∠C=∠AFB，

∴△ABF∽△BEC，

∴∠BAF=∠CBE；

（2）∵AE⊥DC，AD=5，AB=8，sin∠D=，

∴AE=4，DE=3

∴EC=5

∵AE⊥DC，AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=

∵BC=AD=5，

由（1）得：△ABF∽△BEC，

∴ ==

即 ==

解得：AF=BF=2