Question

13．在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，Q是直线AB上一动点，⊙Q的半径为1．当⊙Q与坐标轴相切时，点Q的坐标为（-$\frac{27}{4}$，-1）或（-$\frac{21}{4}$，1）或（-1，$\frac{20}{3}$）或（1，$\frac{28}{3}$）．

Answer 1

分析 画出图象，分四种情形讨论即可．

解答 解：如图，

∵直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
①作Q₁M⊥x于M．当Q₁M=1时，⊙Q₁与x轴相切．
∵Q₁M∥OB，
∴$\frac{{Q}_{1}M}{OB}$=$\frac{AM}{AO}$，
∴AM=$\frac{3}{4}$，
∴Q₁（-$\frac{27}{4}$，-1）．
②作Q₂N⊥x于N．当Q₂N=1时，⊙Q₂与x轴相切，
此时Q₁，Q₂关于点A对称，
∴Q₂（-$\frac{21}{4}$，1）．
③作Q₃H⊥y于H，当Q₃H=1时，⊙Q₃与y轴相切，
∵Q₃H∥OA，
∴$\frac{BH}{BO}$=$\frac{{Q}_{3}H}{AO}$，
∴BH=$\frac{4}{3}$，
∴OH=$\frac{20}{3}$，
∴Q₃（-1，$\frac{20}{3}$）．
④作Q₄G⊥y于G，当Q₄G=1时，⊙Q₄与y轴相切，
此时Q₃，Q₄关于点B对称，
∴Q₄（1，$\frac{28}{3}$）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（-$\frac{27}{4}$，-1）或（-$\frac{21}{4}$，1）或（-1，$\frac{20}{3}$）或（1，$\frac{28}{3}$）．
故答案为（-$\frac{27}{4}$，-1）或（-$\frac{21}{4}$，1）或（-1，$\frac{20}{3}$）或（1，$\frac{28}{3}$）．

点评 本题考查切线的性质、一次函数的应用、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考常考题型．