【题目】定义:在平行四边形中,若有一条对角线是一边的两倍,则称这个平行四边形为两倍四边形,其中这条对角线叫做两倍对角线,这条边叫做两倍边.
如图1,四边形是平行四边形, ,延长交于点,连结交于点,, .
(1)若,如图2.
①当时,试说明四边形是两倍四边形;
②是否存在值,使得四边形是两倍四边形,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(2)如图1,四边形与四边形都是两倍四边形,其中与为两倍对角线,与为两倍边,求的值.
【答案】(1)①证明见解析;②存在,的值为或;(2).
【解析】
(1)①证明四边形是平行四边形,,即可得到结论;
②当AC=2CD时,四边形ABCD是两倍四边形,此时 AD=BC=;当AC=2AD时,四边形ABCD是两倍四边形,由勾股定理得出方程m2+12=(2m)2,解方程即可;
(2)由两边四边形的定义得出AD=DG,得出∠DAG=∠AGD,同理AC=AF,得出∠ACF=∠AFC,证出∠ADG=∠CAF,,得出△ADB∽△ACE,由AB=CE,得出△ADB≌△ACE,由全等三角形的性质得出AC=AD,作DM⊥AC于M,设AM=x,则AC=AD=4x,由勾股定理得:DM=,CD=,由CD=AB=1得出方程,解方程即可.
(1)①证明:∵四边形是平行四边形,
∴AB∥CD,BC=AD=2,
∵,AB∥CE,
∴四边形是平行四边形,,
四边形是两倍四边形;
②存在,理由如下:
当AC=2AB时,则AC=2,
∵,
∴,
∴m=AD=BC=;
当AC=2AD时,则AC=2m,
∴,
解得m=或m=-(舍去),
∴的值为或时,四边形是两倍四边形;
(2)∵四边形ABCD是两倍四边形,BD为两倍对角线,AD为两倍边,
∴AD=DG,
∴∠DAG=∠AGD,
∵四边形ABEC是两倍四边形,AE为两倍对角线,AC为两倍边,
∴AC=AF,
∴∠ACF=∠AFC,
又∵∠DAG=∠ACF,
∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC,
∴∠ADG=∠CAF,
又∵,,
∴,
∴△ADB∽△ACE,
又∵AB=CE,
∴相似比为1,
∴△ADB≌△ACE,
∴AC=AD,
作DM⊥AC于M,如图1,
设AM=x,则AC=AD=4x,
在Rt△ADM中,由勾股定理得:DM=,
在Rt△DMC中,由勾股定理得:CD=,
∵CD=AB=1,
∴ =1,
∴x=,
∴AD=4x=,
即.
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【题目】如图,正方形A0B0C0A1的边长为1,正方形A1B1C1A2的边长为2,正方形A2B2C2A3的边长为4,正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBnnAn+1,且点A0,A1,A2,A3,…,An+1在同一条直线上,连接A0C1交A1B1于点D1,连接A1C2交A2B2于点D2,连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1,四边形A1B1C1D2的面积为S2,四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn,则S2019=_____.
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【题目】以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A,B,C,D按顺时针方向排列),已知AB=BC=CD,∠ABC=100°,∠CAD=40°,则∠BCD的度数为________.
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【题目】如图,为的直径,于点,是上一点,且,延长至点,连接,使,延长与交于点,连结,.
(1)连结,求证:;
(2)求证:是的切线;
(3)若,,求的值.
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【题目】如图所示,图①是一个三角形,分别连接三边中点得图②,再分别连接图②中的小三角形三边中点,得图③……按此方法继续下去.
在第个图形中有______个三角形(用含的式子表示)
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,则以下AE与CE的数量关系正确的是( )
A.AE=CEB.AE=CEC.AE=CED.AE=2CE
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【题目】西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”,是国家级文物保护单位,玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔,最初五层,后加盖至九层,是西安市的标志性建筑之一,某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=4米,将标杆CD向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,点C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得FG=6米,GC=53米,请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB.
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【题目】国家教育部提出“每天锻炼一小时,健康工作五十年,幸福生活一辈子”.万州区某中学对九年级部分学生进行问卷调查“你最喜欢的锻炼项目是什么?”,规定从“打球”,“跑步”,“游泳”,“跳绳”,“其他”五个选项中选择自己最喜欢的项目,且只能选择一个项目,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
最喜欢的锻炼项目 | 人数 |
打球 | 120 |
跑步 | |
游泳 | |
跳绳 | 30 |
其他 |
(1)这次问卷调查的学生总人数为 ,人数 ;
(2)扇形统计图中, ,“其他”对应的扇形的圆心角的度数为 度;
(3)若该年级有1200名学生,估计喜欢“跳绳”项目的学生大约有多少人?
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【题目】中国古代算书《算法统宗》中有这样一道题:甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊随其后,戏问甲及一百否?甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半(注:四分之一的意思)群,得你一只来方凑,玄机奥妙谁参透?大意是说:牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧,有一个过路人牵着1只肥羊从后面跟了上来,他对牧羊人说你赶的这群羊大概有100只吧?牧羊人答道:如果这一群羊加上1倍,再加上原来羊群的一半,又加上原来这群羊的四分之一,连你牵着的这只肥羊也算进去,才刚好满100只你知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只吗?
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