Question

【题目】综合与探究

如图，已知抛物线y＝ax2﹣3x+c与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴交于点B（4，0），点P是线段AB下方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；

（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，∠PAB＝90°求出此时点P的坐标；

（3）当点P从点A出发，沿线段AB下方的抛物线向终点B移动，在移动中，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S关于t的函数表达式，并求t为何值时S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4，（2）（2，﹣6）；（3）当t＝2时，S取得最大值，最大值为8．

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标；

（2）过点P作PQ⊥OA于点Q，由OA＝OB结合∠PAB＝90°可得出∠PAQ＝45°，进而可得出AQ＝PQ，设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），由点A的坐标结合AQ＝PQ可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（3）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，由点P的横坐标为t可得出点P，M的坐标，进而可得出PM的长，由S△PAB＝S梯形OAPM+S△PBM﹣S△AOB可得出S关于t的函数表达式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

（1）将A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝ax2﹣3x+c，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4．

∵，

∴抛物线的顶点坐标为．

（2）过点P作PQ⊥OA于点Q，如图1所示．

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝45°．

又∵∠PAB＝90°，

∴∠PAQ＝45°，

∴AQ＝PQ．

设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），

∴m＝﹣4﹣（m2﹣3m﹣4），

解得：m1＝0（舍去），m2＝2，

∴点P的坐标为（2，﹣6）．

（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直线AB的解析式为y＝x﹣4．

过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，如图2所示．

∵点P的坐标为（t，t2﹣3t﹣4），

∴点M的坐标为（t，0），

∴PM＝﹣t2+3t+4

∴S△PAB＝S梯形OAPM+S△PBM﹣S△AOB，

＝（OA+PM）OM+PMBM﹣OAOB，

＝ [4+（﹣t2+3t+4）]t+（﹣t2+3t+4）（4﹣t）﹣×4×4，

＝﹣2t2+8t，

即S＝﹣2t2+8t（0≤t≤4）．

S＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴当t＝2时，S取得最大值，最大值为8．