Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．

（1）求证：△APD≌△BQC；

（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵CQ∥DB，

∴∠BCQ=∠DBC，

∵DP=CQ，

∴△ADP≌△BCQ．

（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，

∴四边形CQPD是平行四边形，

∴CD=PQ，CD∥PQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴AB=PQ，AB∥PQ，

∴四边形ABQP是平行四边形，

∵△ADP≌△BCQ，

∴∠APD=∠BQC，

∵∠∠APD+∠APB=180°，

∴∠ABP=∠APB，

∴AB=AP，

∴四边形ABQP是菱形．