Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C₁：y＝x²＋3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C₂。C₂的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）。

（1）求抛物线C₂的解析式；

（2）若抛物线C₂的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C₂交于点D，与抛物线C₁交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积；

（3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C₂上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点G的坐标，如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) y=x²-2x-3；(2)证明过程见解析，16；（3）G₁（-2，5），G₂（4，5），G₃（2，-3）．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数平移的规律：“左加右减，上加下减”，得出平移后解析式即可；

（2）首先求出A，B两点的坐标，再利用顶点坐标得出AC=CB，CE=DE，进而得出四边形ADBE是平行四边形以及四边形ADBE是菱形，再利用三角形面积公式求出即可；

（3）利用分OB为平行四边形的边和对角线两种情况：①当OB为平行四边形的一边时，②当OB为平行四边形的一对角线时分别得出即可．

试题解析：（1）∵将抛物线C₁：y=x²+3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C₂，

∴抛物线C₁的顶点（0，3）向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到（1，-4）．

∴抛物线C₂的顶点坐标为（1，-4）．

∴抛物线C₂的解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）证明：由x²-2x-3=0，

解得：x₁=-1，x₂=3，

∵点A在点B的左侧，

∴A（-1，0），B（3，0），AB=4．

∵抛物线C₂的对称轴为x=1，顶点坐标D为（1，-4），

∴CD=4．AC=CB=2．

将x=1代入y=x²+3得y=4，

∴E（1，4），CE=DE．

∴四边形ADBE是平行四边形．

∵ED⊥AB，

∴四边形ADBE是菱形．

S_菱形ADBE=2××AB×CE=2××4×4=16．

（3）存在．分AB为平行四边形的边和对角线两种情况：

①当OB为平行四边形的一边时，如图1，

设F（1，y），

∵OB=3，∴G₁（-2，y）或G₂（4，y）．

∵点G在y=x²-2x-3上，

∴将x=-2代入，得y=5；将x=4代入，得y=5．

∴G₁（-2，5），G₂（4，5）．

②当OB为平行四边形的一对角线时，如图2，

设F（1，y），OB的中点M，过点G作GH⊥OB于点H，

∵OB=3，OC=1，∴OM=，CM=．

∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=．

∴OH=2．

∴G₃（2，-y）．

∵点G在y=x²-2x-3上，

∴将（2，-y）代入，得-y=-3，即y=3．

∴G₃（2，-3）．

综上所述，在抛物线C₂上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，

点G的坐标为G₁（-2，5），G₂（4，5），G₃（2，-3）．

考点: 二次函数综合题．