Question

新时代中学为了搞好校园环境，准备在围墙边设计一个长方形的自行车棚，一边利用围墙，并且已有总长32m的铁围栏，为了方便出入，在平行于墙的一边留有一个2m宽的门．
（1）如果要使这个车棚的面积为144m²，请你设计长和宽；
（2）使面积最大，设计长和宽．

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）设垂直于墙的铁围栏为xm，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）m，根据长方形的面积公式即可列方程可解；
（2）设这个车棚的面积为ym²，由（1）的数量关系得出二次函数，利用配方法求得最大值即可．

解答：解：（1）设宽为xm，则长为（32-2x+2=34-2x）m，
依题意可列方程x（34-2x）=144，即-2x²+34x-144=0，
解之得x₁=8，x₂=9．
当x₁=8时，32-2x+2=18，
当x₂=9时，32-2x+2=16；
所以这个车棚的长为18m，宽为8m或长为16m，宽为9m．

（2）设这个车棚的面积为ym²，
由题意得y=x（34-2x）=-2x²+34x=-2（x-8.5）2+144.5；
要使面积最大，长为17m，宽为8.5m．

点评：此题考查二次函数与一元二次方程的实际运用，利用配方法求最大值是常用的方法．