Question

【题目】如图，已知抛物线y=（x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵y=（x2﹣7x+6）=（x2﹣7x）﹣3=（x﹣）2+，

∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=（x﹣）2+，

顶点M的坐标是（，）；

（2）

解：∵y=（x2﹣7x+6），

∴当y=0时，（x2﹣7x+6）=0，

解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），

∵x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，

则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，

最小值为BC==．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为：y=x﹣3，

令x=，得y=×﹣3=，

∴R点坐标为（，）；

（3）

证明：设点P坐标为（x，x2+x﹣3）．

∵A（1，0），B（6，0），

∴N（，0），

∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，

∴NP=，

即（x﹣）2+（x2+x﹣3）2=（）2，

化简整理得，x4﹣14x3+65x2﹣112x+60=0，

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，

解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），

∴点P坐标为（2，2）．

∵M（，），N（，0），

∴PM2=（2﹣）2+（2﹣）2=，

PN2=（2﹣）2+22==，

MN2=（）2=，

∴PM2+PN2=MN2，

∴∠MPN=90°，

∵点P在⊙N上，

∴直线MP是⊙N的切线．

【解析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；
（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；
（3）设点P坐标为（x，﹣x2+x﹣3）．根据NP=AB=列出方程（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2 ， 解方程得到点P坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2 ， 根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是⊙N的切线．