Question

18．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：△PAC∽△PCB；
（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：
①当AQ=3$\sqrt{2}$时，四边形AQBC的面积最大；
②当AQ=3或3$\sqrt{3}$时，△ABC与△ABQ全等．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质得出OC⊥PC，推出∠PCA+∠ACO=90°，由圆周角定理得出∠B+∠CAB=90°，证出∠OAC=∠OCA，推出∠B+∠OCA=90°，得出∠PCA=∠B，即可得出结论；
（2）①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；连接AQ、BQ，由线段垂直平分线性质得出OQ=BQ，由圆周角定理得出∠AQB=90°，证出△ABQ是等腰直角三角形，得出AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
②由直角三角形的性质和圆周角定理得出AC=$\frac{1}{2}$AB=3，BC=$\sqrt{3}$AC=3$\sqrt{3}$，分两种情况讨论，由全等三角形的判定即可得出结论．

解答 （1）证明：如图1所示，连接OC．
∵PC是圆O的切线，OC是半径，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠B+∠OCA=90°，
∴∠PCA=∠B，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB；
（2）解：①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；
如图2所示：连接AQ、BQ，
∵OA=OB，OQ⊥AB，
∴OQ=BQ，
∵AB是直径，
∴∠AQB=90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$；
②如图3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=3，BC=$\sqrt{3}$AC=3$\sqrt{3}$，
分两种情况：
a．当AQ=AC=3时，
在Rt△ABC和Rt△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{AC=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABQ（HL）；
b．当AQ=BC=3$\sqrt{3}$时，同理△ABC≌△BAQ；
综上所述：当AQ=3或3$\sqrt{3}$时，△ABC与△ABQ全等．

点评 本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．