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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
    （1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
    （2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
    分析：（1）经过1秒后，PB=2m，PC=8m，CQ=6m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
    （2）可设点Q的运动时间为ts△CPQ是等腰三角形，则可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时△CPQ为等腰三角形，从而求得t的值．
    解答：解：（1），△BPD与△CQP是全等．理由如下：
    当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
    有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
    则CP=BC-BP=10-4=6cm
    CQ=AC-AQ=12-8=4cm          …（2分）
    ∵D是AB的中点
    ∴BD=
    1
    2
    AB=
    1
    2
    ×12=6cm
    ∴BP=CQ，BD=CP             …（3分）
    又∵△ABC中，AB=AC
    ∴∠B=∠C                    …（4分）
    在△BPD和△CQP中
    BP=CQ
    ∠B=∠C
    BD=CP
    ∴△BPD≌△CQP（SAS）         …（6分）

    （2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
    有BP=2t，AQ=4t
    ∴t的取值范围为0＜t≤3
    则CP=10-2t，CQ=12-4t            …（7分）
    ∵△CPQ的周长为18cm，
    ∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4   …（8分）
    要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
    ①当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t
    解得：t=1     …（9分）
    ②当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t
    解得：t=
    7
    4
    …（10分）
    ③当QP=QC时，则有6t-4=12-4t
    解得：t=
    8
    5
    …（11分）
    三种情况均符合t的取值范围．
    综上所述，经过1秒或
    7
    4
    秒或
    8
    5
    秒时，△CPQ是等腰三角形…（12分）
    点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
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    12
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