Question

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm（x＞0）．当x为何值时，△PBC的周长最小．

Answer 1

分析：（1）根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，从而利用有两对角对应相等的两三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；
（2）根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小，从而利用勾股定理分别求得AC、AF、AE、DE的长，从而就求得了x的值．

解答：（1）证明：∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAC=90°．
∵DF⊥AC，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAC=∠ADF，
又∵∠DFA=∠ACB，
∴△DFA∽△ACB．
∴

AF

BC

=

AD

AB

．
∴AF•AB=BC•AD．
∵AD=CD，
∴AB•AF=CB•CD．

（2）解：C_△PBC=PB+PC+BC，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴DE是AC的垂直平分线．
∴PC=PA根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小．
∵∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=12．
∴AF=

1

2

AC=6．
∵AF•AB=CB•AD，即6×15=9•AD，
∴AD=10．
∵FE是△ABC中位线，
∴AE=

1

2

AB=7.5．
∴DE=

AD2+AE2

=12.5．
∴x=12.5时，△PBC周长最小．

点评：此题考查学生对相似三角形的判定及线段最短问题的理解及运用．