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如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
解:(1)证明:如图,∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,

∴∠2=∠5,4=∠6。
∵MN∥BC,∴∠1=∠5,3=∠6。
∴∠1=∠2,∠3=∠4。∴EO=CO,FO=CO。
∴OE=OF。
(2)∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。
∵CE=12,CF=5,∴
∴OC=EF=6.5。
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形。理由如下:
当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形。
∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形。
(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2,∠3=∠4,进而得出答案。
(2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,进而利用勾股定理求出EF的长,即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长。
(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可。 
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