Question

7．如图，抛物线y=x²+4x+3交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C．已知一次函数y=kx+b的图象过点A，C．
（1）求抛物线的对称轴和一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b＞x²+4x+3的x的取值范围；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先把y=x²+4x+3化成顶点坐标式，即可求出抛物线的对称轴，求出点A、点C的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出满足条件的x的取值范围；
（3）分别讨论点P在第一象限、第二象限以及第四象限三种情况，利用平行四边形的特征求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵y=x²+4x+3=x²+4x+4-3=（x+2）²-3，
∴抛物线的对称轴是x=-2，
令y=x²+4x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
∴点A坐标为（-3，0），点B坐标为（-1，0），点C坐标为（0，3），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得k=1，b=3，
∴一次函数解析式为y=x+3；
（2）根据图象可知，当-3＜x＜0时kx+b＞x²+4x+3；
（3）存在点P，共有三种情况：
如图1，当P点在第一象限时，

PC∥AB，且AB=PC，
∵AB=2，
∴PC=2，
∵点C坐标为（0，3），
∴点P坐标为（2，3）；
如图2，当点P位于第二象限时，

PC∥AB，且AB=PC，
∵AB=2，
∴PC=2，
∵点C坐标为（0，3），
∴点P坐标为（-2，3）；
如图3，当点P位于第三象限时，

∵四边形APBC是平行四边形，
∴AP∥BC，AP=BC，
∴线段AP可以看成BC向下平移3个单位向左平移3个单位得到，
∵点B坐标为（-1，0），
∴点P坐标为（-4，-3）；
综上所述，点P坐标为（2，3）或（-2，3）或（-4，-3）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到二次函数的性质、直线与抛物线的交点问题、平行四边形的判定与性质等知识，解答此题需要根据平行四边形的特征进行分类讨论，此题难度不大．