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(2005•武汉)已知:如图,直线交x轴于O1,交y轴于O2,⊙O2与x轴相切于O点,交直线O1O2于P点,以O1为圆心,O1P为半径的圆交x轴于A、B两点,PB交⊙O2于点F,⊙O1的弦BE=BO,EF的延长线交AB于D,连接PA、PO.
(1)求证:∠APO=∠BPO;
(2)求证:EF是⊙O2的切线;
(3)EO1的延长线交⊙O1于C点,若G为BC上一动点,以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M,交O1B于N.下列结论:①O1M•O1N为定值;②线段MN的长度不变.只有一个是正确的,请你判断出正确的结论,并证明正确的结论,以及求出它的值.

【答案】分析:(1)可通过度数来求两角相等.连接O2F,那么∠O2PF=∠O2FP=∠OBP,因此O2F∥AB,这样可得出圆O2的圆心角∠OO2F=90°.因此∠OPF=45°,那么∠APO=90°-45°=45°,因此两角相等.
(2)由于(1)中得出了O2F∥AB,因此只要证得DE⊥AB,就能得出DE⊥O2F,也就得出了DE是圆O2的切线的结论,那么关键是证明DE⊥AB.可通过垂径定理来求.延长ED交⊙O1于点H,那么就要求出DE=DH或BE=BH,那么就要先求出∠BEH=∠BHE.连接PE,那么∠BHE=∠EPB,那么证∠EPB=∠DEB即可.可通过相似三角形BEF和BPE来求得,这两个三角形中,已知了一个公共角,我们再看夹这个角的两组对边是否成比例.由于BO2=BF•BP,而BO=BE,因此BE2=BF•BP,由此可得出两三角形相似,进而可根据前面分析的步骤得出本题的结论.
(3)MN的长度不变.这是因为点G是BC上的一个动点,但的O1C长度是不变的,它等于⊙的半径8,另外∠BO1C的大小也是始终不变的,因为所有的⊙O3都是等圆,故弧MGN也都是相等的,故弦MN都是相等的,求MN的长,可通过构建全等三角形来求解,过N作⊙O3的直径NK,连接MK,那么三角形NKM和EDO1全等,那么只要求出DE的长即可,根据直线的解析式,可得出O1,O2的坐标,也就求出了OO1,OO2的值,也就能得出圆O1的半径的长,进而可求出AD,BD的长然后根据DE2=AD•DB即可得出MN的值.
解答:解:(1)连接O2F.
∵O2P=O2F,O1P=O1B,
∴∠O2PF=∠O2FP,∠O1PB=∠O1BP,
∴∠O2FP=∠O1BP.
∴O2F∥O1B,
得∠OO2F=90°,
∴∠OPB=∠OO2F=45°.
又∵AB为直径,
∴∠APB=90°,
∴∠APO=∠BPO=45°.

(2)延长ED交⊙O1于点H,连接PE.
∵BO为切线,
∴BO2=BF•BP.
又∵BE=BO,
∴BE2=BF•BP.
而∠PBE=∠EBF,
∴△PBE∽△EBF,
∴∠BEF=∠BPE,
∴BE=BH,有AB⊥ED.
又由(1)知O2F∥O1B,
∴O2F⊥DE,
∴EF为⊙O2的切线.

(3)MN的长度不变.
过N作⊙O3的直径NK,连接MK.则∠K=∠MO1N=∠EO1D,
且∠NMK=∠EDO1=90°,
又∵NK=O1E,
∴△NKM≌△EDO1
∴MN=ED.
而OO1=4,OO2=3,
∴O1O2=5,
∴O1A=8.即AB=16,
∵EF与圆O2相切,
∴O2F⊥ED,
则四边形OO2FD为矩形,
∴O2F=OD,又圆O2的半径O2F=3,
∴OD=3,
∴AD=7,BD=9.
ED2=AD•BD,
∴ED=3
故MN的长度不会发生变化,其长度为
点评:本题主要考查了圆与圆的位置关系,全等三角形,相似三角形的判定和性质以及一次函数等知识点的综合应用.图中边和角较多,因此搞清楚图中边和角的关系是解题的关键.
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