Question

（2003•桂林）为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其横截面为一梯形（如图所示），堤的上底宽AD和堤高DF都是6米，其中∠B=∠CDF．
（1）求证：△ABE∽△CDF；
（2）如果tanB=2，求堤的下底BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证两三角形相似，要找齐两组对应角相等，这两个三角形中，已知了∠B=∠CDF，∠AEB和∠CFD是一组直角，因此就构成了判定相似三角形的条件．
（2）求BC的关键是求BE、CF的长，已知了∠B的正切值，由（1）的相似三角形可得出∠B=∠FDC，那么∠FDC的正切值也就得出了．可在直角三角形ABE和CDF中，用DF的长和∠B、∠CDF的正切函数求出BE、CF，也就能求出BC的长．
解答：（1）证明：∠B=∠CDF，∠AEB=∠CFD
∴△ABE∽△CDF；

（2）解：在Rt△ABE中，tanB==2，AE=6
∴BE=AE=DF=3
在Rt△DFC中，∠CDF=∠B，DF=6∴tan∠CDF==2
∴FC=12
即BC=BE+EF+FC=3+6+12=21（m）．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定以及解直角三角形的应用．根据相似三角形得出的相等角来求BC的值是解（2）题的基础．