Question

【题目】在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN，直线BD与MN交于点E．

（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE＝BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．

（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是　 　．

（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，如图3，若 CM＝2，则线段DG＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD+2DE＝BM；（3）.

【解析】

（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；
（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；
（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，

根据BM＝DN，列出方程求出AB的长度，根据DF∥BM，得到即可求解.

解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，

∵PM∥CD，

∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，

∴△BPM是等腰直角三角形，

∴PM＝BM，

∵BM＝DN，

∴PM＝DN，

在△EPM和△EDN中，

∴△EPM≌△EDN（AAS），

∴EP＝ED，

∴PB＝BD﹣PD＝BD﹣2DE，

根据勾股定理得：

即

（2）如图2，过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，

∴∠PMB＝∠BCD＝90°，

∵∠CBD＝45°，

∴△BMP是等腰直角三角形，

∴BM＝PM＝DN，

与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），

∴EP＝ED，

∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，

根据勾股定理得：BP＝BM，

即BD+2DE＝BP＝BM，

故答案为：BD+2DE＝BM；

（3）如图3，∵∥CD，

∴AB∥DN，

∴△ABF∽△DNF，

∴AF：FD＝AB：ND，

∵AF：FD＝1：2，

∴AB：ND＝1：2，

设AB＝x，则DN＝2x，

∵BM＝DN，

∴x+2＝2x，x＝2，

∴AB＝AD＝2，DF＝，

∴

∵DF∥BM，

∴

∴

故答案为：