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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相较于点D,E,F,且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接BD,FH.

(1)求证:△ABC≌△EBF;
(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.

【答案】
(1)证明:∵∠ABC=90°,

∴∠EBF=90°,

∵DF⊥AC,

∴∠ADF=90°,

∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°,

∴∠C=∠BFE,

在△ABC与△EBF中,

∴△ABC≌△EBF


(2)BD与⊙O相切,如图1,连接OB

证明如下:∵OB=OF,

∴∠OBF=∠OFB,

∵∠ABC=90°,AD=CD,

∴BD=CD,

∴∠C=∠DBC,

∵∠C=∠BFE,

∴∠DBC=∠OBF,

∵∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBC+∠CBO=90°,

∴∠DBO=90°,

∴BD与⊙O相切


(3)解:如图2,连接CF,HE,

∵∠CBF=90°,BC=BF,

∴CF= BF,

∵DF垂直平分AC,

∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF,

∴BF= +1,

∵△ABC≌△EBF,

∴BE=AB=1,

∴EF= =

∵BH平分∠CBF,

∴EH=FH,

∴△EHF是等腰直角三角形,

∴HF= EF=

∵∠EFH=∠HBF=45°,∠BHF=∠BHF,

∴△BHF∽△FHG,

∴HGHB=HF2=2+


【解析】(1)由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°,于是得到∠C=∠BFE,从而证得△ABC≌△EBF;(2)BD与⊙O相切,如图1,连接OB证得∠DBO=90°,即可得到BD与⊙O相切;(3)如图2,连接CF,HE,有等腰直角三角形的性质得到CF= BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF= BF,求得BF= +1,有勾股定理解出EF = ,推出△EHF是等腰直角三角形,求得HF= EF= ,通过△BHF∽△FHG,列比例式即可得到结论.

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