【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相较于点D,E,F,且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接BD,FH.
(1)求证:△ABC≌△EBF;
(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.
【答案】
(1)证明:∵∠ABC=90°,
∴∠EBF=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠ADF=90°,
∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°,
∴∠C=∠BFE,
在△ABC与△EBF中, ,
∴△ABC≌△EBF
(2)BD与⊙O相切,如图1,连接OB
证明如下:∵OB=OF,
∴∠OBF=∠OFB,
∵∠ABC=90°,AD=CD,
∴BD=CD,
∴∠C=∠DBC,
∵∠C=∠BFE,
∴∠DBC=∠OBF,
∵∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBC+∠CBO=90°,
∴∠DBO=90°,
∴BD与⊙O相切
(3)解:如图2,连接CF,HE,
∵∠CBF=90°,BC=BF,
∴CF= BF,
∵DF垂直平分AC,
∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF,
∴BF= +1,
∵△ABC≌△EBF,
∴BE=AB=1,
∴EF= =
,
∵BH平分∠CBF,
∴ ,
∴EH=FH,
∴△EHF是等腰直角三角形,
∴HF= EF=
,
∵∠EFH=∠HBF=45°,∠BHF=∠BHF,
∴△BHF∽△FHG,
∴ ,
∴HGHB=HF2=2+ .
【解析】(1)由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°,于是得到∠C=∠BFE,从而证得△ABC≌△EBF;(2)BD与⊙O相切,如图1,连接OB证得∠DBO=90°,即可得到BD与⊙O相切;(3)如图2,连接CF,HE,有等腰直角三角形的性质得到CF= BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF=
BF,求得BF=
+1,有勾股定理解出EF
=
,推出△EHF是等腰直角三角形,求得HF=
EF=
,通过△BHF∽△FHG,列比例式即可得到结论.
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【题目】某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试,为了解测试结果,随机抽取部分学生的成绩进行分析,将成绩分为三个等级:不合格、一般、优秀,并绘制成如图两幅统计图(不完整).
请你根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次测试,一共抽取了名学生;
(2)请将以上两幅统计图补充完整;(注:扇形图补百分比,条形图补“优秀”人数与高度);
(3)若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩,该校学生有1200人,请你估计此次测试中,全校达标的学生有多少人.
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【题目】如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案.
(1)第1个图案中有______根小棒;第2个图案中有__根小棒;第3个图案中有__根小棒;
(2)第n个图案中有多少根小棒?
(3)第25个图案中有多少根小棒?
(4)是否存在某个符合上述规律的图案,由2032根小棒摆成?如果有,指出是第几个图案;如果没有,请说明理由.
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【题目】甲乙两人想共同承包一项工程,甲单独做30天完成,乙单独做20天完成,合同规定15天完成,若完不成视为违约,甲乙两人经过商量后签订了该合同.
(1)正常情况下,甲乙两人能否履行该合同?为什么?
(2)现在两人合作了9天,因别处有急事,必需调走1人,问两人能否违约?
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【题目】为疏导国庆假期交通,一辆交通巡逻车在南北公路上巡视.某天早上从地出发,中午到达
地,行驶记录如下(规定向北为正方向,单位:千米):
,
,
,
,
,
,
.
请你解答下列问题:
(1)地在
地的什么方向?与
地相距多远?
(2)巡逻车在巡逻中,离开地最远多少千米?
(3)若巡逻车行驶每千米耗油升,这半天共耗油多少升?
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【题目】如图,四边形OABC为矩形,点A,C分别在x轴和y轴上,连接AC,点B的坐标为(8,6),∠CAO的平分线与y轴相交于点D,则点D的坐标为_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)AC的长是 ,AB的长是 .
(2)在D、E的运动过程中,线段EF与AD的关系是否发生变化?若不变化,那么线段EF与AD是何关系,并给予证明;若变化,请说明理由.
(3)当t为何值,△BEF的面积是2?
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【题目】我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?
(2)求k的值;
(3)当棚内温度不低于16℃时,该蔬菜能够快速生长,请问这天该蔬菜能够快速生长多长时间?
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