Question

3．已知二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x轴交于点D
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形？并加以说明；
（Ⅲ）点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把A（-3，6），B（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，解方程组即可解决问题．
（Ⅱ）结论：△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三点坐标即可解决问题．
（Ⅲ）如图，连接BE、DE．只要证明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q．求出直线DE的解析式，解方程组即可．

解答 解：（Ⅰ）把A（-3，6），B（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}-3b+c=6}\\{\frac{1}{2}-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

（Ⅱ）结论：△DCP是等腰直角三角形．
理由：对于抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=0，解得x=-1或3，
∴点C坐标（3，0），
令x=0则y=-$\frac{3}{2}$，
∴点E坐标（0，-$\frac{3}{2}$），
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
∴顶点P坐标（1，-2），点D坐标（1，0），
∴CD=PD=2，
∵∠PDC=90°，
∴△PDC是等腰直角三角形．

（Ⅲ）如图，连接BE、DE．

∵B（-1，0），D（1，0），E（0，-$\frac{3}{2}$），
∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，
∴△EOB≌△EOD，
∴∠DEO=∠BEO，
∴直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q．
设直线DE的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点Q坐标为（5，6）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用解方程组求两个函数的交点坐标，所以中考常考题型．