Question

如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC的长为20cm，边AC的长为hcm，在此三角形内有一个矩形CFED，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，设AD的长为xcm，矩形CFED的面积为y（单位：cm²）．
（1）当h等于30时，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）在（1）的条件下，矩形CFED的面积能否为180cm²？请说明理由；
（3）若y与x的函数图象如图②所示，求此时h的值．
（参考公式：二次函数y=ax²+bx+c，当x=-

b

2a

时，y最大（小）值=

4ac-b2

4a

．）

Answer 1

分析：（1）根据AC的长，可用AD表示出CD，根据∠A的正切值，可用AD表示出DE，由此可得出关于y，x的函数关系式．
（2）将y=180代入（1）的函数式中，如果得出的方程有解，就说明矩形的面积能够成为180cm²，反之则不能．
（3）根据（1）的解题思路不难得出含h的关于x，y的函数关系式，然后将图象中的（10，150）的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出h的值．

解答：解：（1）∵AC=30，AD=x，
∴CD=30-x．
∵四边形CFED为矩形，
∴DE∥BC．
∴

DE

BC

=

AD

AC

，即

DE

20

=

x

30

．
∴DE=

2

3

x．
∴y=

2

3

x（30-x）．
即y=-

2

3

x²+20x．

（2）∵

4ac-b2

4a

=

4×(- 2 3 )×0-202

4×(- 2 3 )

=150，
∴y的最大值为150．
∵150＜180，
∴矩形CFED的面积不能为180cm²．

（3）由图象可知，当x=10时，y=150．
当x=10时，CD=h-10，DE=

200

h

，
∴

200

h

（h-10）=150，
解得h=40．
经检验h=40是方程的解．
∴h=40．

点评：本题结合了直角三角形与矩形的相关知识考查了二次函数的应用，综合性较强，难度适中．