Question

13．有一块三角形ABC铁片，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上，且矩形的长是宽的2倍，求加工成的贴片面积？

Answer 1

分析 如图，四边形EFGH为矩形，设HE=x，分类讨论：若HG=2HE=2x，则MD=x，AM=AD-MD=8-x，证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质得$\frac{8-x}{8}$=$\frac{2x}{12}$，解得x=$\frac{24}{7}$，然后计算相应矩形EFGH的面积；若HG=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{1}{2}$x，利用同样的方法求出x=6，再计算相应的矩形EFGH的面积．

解答 解：如图，四边形EFGH为矩形，设HE=x，
若HG=2HE=2x，则MD=x，
∴AM=AD-MD=8-x，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$，即$\frac{8-x}{8}$=$\frac{2x}{12}$，解得x=$\frac{24}{7}$，
∴矩形EFGH的面积=2x•x=2x²=2×（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{1152}{49}$（cm²）；
若HG=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{1}{2}$x，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$，即$\frac{8-x}{8}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{12}$，解得x=6，
∴矩形EFGH的面积=$\frac{1}{2}$x•x=$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$×6²=18（cm²）．
答：加工成的铁片面积为=$\frac{32}{9}$cm²或18cm²．

点评 本题考查了相似三角形的应用：解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．