Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在线段BA上从B点以每秒1个单位的速度出发向A点运动，F是射线CD上一动点，在点E、F运动的过程中始终保持EF＝5，且CF>BE，点P是EF的中点，连接AP．设点E运动时间为ts．

（1）在点E、F运动的过程中，AP的长度存在一个最小值，当AP的长度取得最小值时，点P的位置应该在 ．

（2）当AP⊥EF时，求出此时t的值

（3）以P为圆心作⊙P，当⊙P与矩形ABCD三边所在直线都相切时，求出此时t的值，并指出此时⊙P的半径长．

Answer 1

【答案】（1）AD的中点；（2）t=（s）；（3），；，

【解析】

（1）在点E、F运动的过程中始终保持EF＝5，且CF>BE，故EF在运动过程中始终保持平行移动，因为点P是EF的中点，则点P始终在过EF的中点且平行于AB的直线上运动，运动轨迹为一条线段，在运动过程中，根据垂线段最短可得P为AD的中点时，AP的长度最小；
（2）首先过点E作EG⊥CD于点G，易证得△APE∽△EGF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得答案；
（3）分两种情况考虑：当⊙P在矩形ABCD内分别与AB、AD、CD相切于点Q、R、N时，连接PQ，PR，PN，如图3所示，可得出四边形AQPR和四边形RPND为两个全等的正方形，其边长为大正方形边长的一半，在直角三角形PQE中，由PE与PQ的长，利用勾股定理求出EQ的长，进而由BA+AQ-EQ求出BE的长，即为t的值，并求出此时⊙P的半径；当⊙P在矩形ABCD外分别与射线BA、AD、射线CD相切于点Q、R、N时，如图4所示，同理求出BE的长，即为t的值，并求出此时⊙P的半径．

（1）在点E、F运动的过程中始终保持EF＝5，且CF>BE，故EF在运动过程中始终保持平行移动，因为点P是EF的中点，则点P始终在过EF的中点且平行于AB的直线上运动，运动轨迹为一条线段，如图所示：根据垂线段最短可得P为AD的中点时，AP的长度最小；

故答案为：AD的中点；

（2）过点E作EG⊥CD于点G，如图2
则四边形BCGE是矩形，
∴EG=BC=3，AB∥CD，

∴FG=，∠AEP=∠EFG

∵AP⊥EF，
∴∠APE=∠EGF=90°，
∴△APE∽△EGF，

∴

∴

∴AE=

∴BE=6-

∴t=（s）

（3）如图3，当⊙P在矩形ABCD内分别与AB、AD、CD相切于点Q、R、N时，
连接PQ、PR、PN，则PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，

则四边形AQPR与四边形RPND为两个全等的正方形，
∴PQ=AQ=AR=DR=AD=，
在Rt△PQE中，EP=，由勾股定理可得：EQ=2，
∴BE=BA-EQ-AQ=6-2-=，
∴t=，此时⊙P的半径为；
如图4，当⊙P在矩形ABCD外分别与射线BA、AD、射线CD相切于点Q、R、N时，

类比图3可得，EQ=2，AQ=，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+-2=，
∴t=，此时⊙P的半径为．