Question

21、如图1，△ABD和△AEC均为等边三角形，连接BE、CD．

（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是

BE=CD

；
（2）观察图2，当△ABD和△AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变？

（3）观察图3和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是

AE=CG

，在图4中证明你的猜想；
．

（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB₁与EE₁的关系是

BB₁=EE₁

；它们分别在哪两个全等三角形中

△AE₁E和△AB₁B中

；请在图6中标出较小的正六边形AB₁C₁D₁E₁F₁的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形？

Answer 1

分析：本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件．

解答：解：（1）线段BE与CD的大小关系是BE=CD；

（2）线段BE与CD的大小关系不会改变；

（3）AE=CG．
证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG．

（4）这些结论可以推广到任意正多边形．
如图5，BB₁=EE₁，它们分别在△AE₁E和△AB₁B中，
如图6，连接FF₁，可证△AB₁B≌△AF₁F．

点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形的有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．