Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点D、C都在⊙O上，若∠ABC=2∠BDC，AB+BC=6，则弦AC=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据圆周角定理得出∠A=∠D，∠ACB=90°，再由∠ABC=2∠BDC可得出∠A=30°，故可得出AB=2BC，再由勾股定理即可得出结论．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠A=∠D．
∵∠ABC=2∠BDC，
∴∠ABC=2∠A，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC．
在Rt△ABC中，
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC²+BC²=（2BC）²①，
∵AB+BC=6，
∴3BC=6，解得BC=2②，
把BC=2代入①得，AC²+4=16，解得AC=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．