Question

观察下列等式；

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

将以上三个等式两边分别相加得；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出

1

n(n+1)

=

 

；
（2）计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

；
（3）计算

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

90

；
（4）计算

1

4

+

1

12

+

1

24

+

1

40

+…+

1

180

．

Answer 1

分析：（1）由规律得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）由（1）的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（3）逆用规律，再计算；
（4）根据

1

4

+

1

12

+

1

24

+

1

40

+…+

1

180

=

1

2

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

90

）计算即可．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

（2分）
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

（6分）
（3）原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

10

=

9

10

（10分）
（4）原式=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

6

+

1

2

×

1

12

+…+

1

2

×

1

90

=

1

2

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

90

）
=

1

2

×

9

10

=

9

20

（14分）

点评：本题考查了利用规律解题，解决此题的关键是题目给出的规律：

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．